GMAT数学之光—因数倍数底层逻辑

因数与倍数问题本质上是“质因数分解问题”。让我们先回顾一下这些“小学学过”的概念：

质数（prime number）是那些只能被1和它本身整除的正整数，例如：2，3，5，7，11等等；其余的数被称为合数（composite number）。0和1自己既不算质数也不算合数。

任何一个合数都有唯一的一种质因数分解模式，例如：

15 = 3*5

合数15只能被分解为3和5这两个质因数相乘。换句话说，一个合数的质因数分解模式是唯一的。

整除与倍数问题

整除（divisible）与倍数（multiple）问题都是质因数分解问题。

试想，若某个数是7的倍数（或能被7整除），则这个数在分解质因数后，其中必定有7；同理，若一个合数能分解出7，那么它一定是7的倍数，也能被7整除。

因此，但凡看到问题中问的是整除或者倍数问题，解题思路就是先将问题问的数进行质因数或因数分解，进而最终求解。

例题1

If the integer n is divisible by 12, which of the following must be true?

(A) n/6 is an integer.

(B) n/9 is an integer.

(D) 2n/9 is an integer.

(E) 3n/15 is an integer.

解：

如果n能被12整除，则n = 2^2*3*k，即，n必然至少包含两个2和一个3。选项A表示n至少包含一个2和一个3，必然正确；选项B表示n至少包含两个3，不一定正确；选项C表示n至少包含一个3和一个5，不一定正确；选项D和选项B一致；选项E表示n必然包含至少一个5，不一定正确。综上，答案为A。

例题2

The difference 942-249 is a positive multiple of 7. If a, b, and c are nonzero digits, how many 3-digit numbers abc are possible such that the difference abc - cba is a positive multiple of 7?

(A) 142

(B) 71

(D) 20

(E) 18

解：

首先需要定义问题，这道题的问题问的是abc-cba是否是7的倍数。因为整除和倍数问题本质上都是质因数分解问题，所以这道题其实就是让我们将abc-cba进行质因数分解。

abc – cba = 100a+10b+c-（100c+10b+a） = 99a-99c = 99（a-c）=3*3*11*(a-c)

显然地，如果想让这个数是7的倍数，只能让a-c是7的倍数。

因为题干里给出了a,b, 和c都是非零的个位数字，所以a-c只能等于7。

当a=9；c=2时，a-c等于7，此时b是无所谓的，1-9这9个数都可以，共有9种可能。

当a=8；c=1时，a-c等于7，此时b也是无所谓的，共有9种可能。

因此，一共有18种可能。答案为E。

例题3

Is the sum of two integers divisible by 10?

(1) One of the integers is even.

(2) One of the integers is a multiple of 5.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

问题问的是两个整数的和能否被10整除。只有知道这两个整数的和的质因数分解模式中是否有2和5，才能知道它们的和是否能被10整除。

条件1：其中一个数是偶数。显然地，知道其中一个数的情况，完全不能知道两个数加和后的情况，不充分。

条件2：其中一个数是5的倍数。和条件1相同，这个条件也不充分。

条件1加条件2：知道两个数分别的情况，依然无法得知这两个数加和后的质因数分解的情况，不充分。

综上，答案为E。

例题4

If x and y are integers greater than 1, is x a multiple of y?

(1) 3y^2 + 7y = x.

(2) x^2 – x is a multiple of y.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

首先定义问题。问题问的是x是否是y的倍数，其实就是问x的质因数分解后，是否有y。

条件1可以写为：

y（3y+7）=x

这表明，x可以被分解为y和3y+7相乘。也就是说，x必然是y的倍数。充分。

条件2可以写为：

x（x-1）是y的倍数

这个条件只能表明x(x-1)能分解出y，但不能确定是x能分解出y还是x-1能分解出y。不充分。

综上，答案为A。

例题5

If n is a positive integer and the product of all the integers from 1 to n, inclusive, is a multiple of 990, what is the least possible value of n?

(A) 10

(B) 11

(D) 13

(E) 14

解：

如果n是990的倍数，则表示n至少应为2*3^2*5*11。由此可知，n至少为11，否则无法提供11这个质因数，答案为B。

例题6

If p is a positive integer, what is the value of p?

(1) p/4 is a prime number

(2) p is divisible by 3.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目问得是，p的值是多少。

条件1：p/4是质数，这表明，p的质因数分解为“2^2*某个质数”。由于无法确定该质数是多少，所以单独通过这个条件无法确定p的值。

条件2：p能被3整除，这就表示p的质因数分解中有3，单独无法确定p的值。

由条件1+条件2可知，p的质因数分解必然为2^2*3，答案为C。

例题7

Is the integer k divisible by 4?

(1) 8k is divisible by 16.

(2) 9k is divisible by 12.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目问得是，k是否能被4整除，也就是问，k的质因数分解后，是否会有两个2。

条件1：8k能被16整除，也就是k中必然有一个2，不充分。

条件2：9k能被12整除，这证明k中必然有两个2（因为，12的质因数分解中包含两个2，而9里是不包含2的），充分。

答案为B。

例题8

Is the integer n a multiple of 15?

(1) n is a multiple of 20.

(2) n + 6 is a multiple of 3.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目问的是，n是否是15的倍数。这其实是在问，n的质因子分解中是否含有3和5。

条件1：n是20的倍数，这表示n中有两个2和一个5，依然不能确定是否有3。所以不充分。

条件2：n+6是3的倍数。因为6是3的倍数，所以若n+6想是3的倍数，n必然也是3的倍数（关于这一点的证明，在“数学之光—余数通解”篇中有详细的讨论）。但仅通过条件2，无法得知n中是否有5。因此，不充分。

条件1+条件2可保证n中既有3，又有5，因此充分。

综上，答案为C。

例题9

Rita and Sam play the following game with n sticks on a table. Each must remove 1, 2, 3, 4 or 5 sticks at a time on alternate tums, and no stick that is removed is put back on the table. The one who removes the last stick (or sticks) from the table wins. If Rita goes first, which of the following is a value of n such that Sam can always win no matter how Rita plays？

(A) 7

(B) 10

(D) 12

(E) 16

解：

这道题目主要需要理解这个游戏的获胜秘诀。因为每一次只能拿走1-5这5种情况，所以，在Rita进行游戏时，如果桌面上只剩下5根或更少的木棍，则Rita必胜；如果剩下6跟，则Rita必败（无论Rita拿走几根，都会剩下至少1根木棍）；如果剩下7根，则Rita如果只拿走1根，她必胜。由此可知，只要Sam拿走木棍后，剩下6根或6根的倍数根木棍，则Sam必胜（6根的倍数，无非是多玩几轮而已，最后一轮依然能保证桌面上剩下6根木棍）。

综上，只有选项D是6的倍数，答案为D。

两条特殊规则可以单独记忆，方便快速完成考题。

1. 3个连续正整数的乘积必然是6的倍数。

2. 2个连续偶数的乘积必然是8的倍数。

例题10

If b is the product of three consecutive positive integers c, c+ 1, and c+2, is b a multiple of 24?

(1) b is a multiple of 8.

(2) c is odd.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

依然是首先定义问题。问题问b是否是24的倍数，其实就是问b的质因数分解后，是否有2^3*3。由于题干中给出了b是由三个连续数乘积构成，所以b必然是6的倍数，也就是有1个3和1个2。

因此，只要条件中能给出b有其余的两个2，即是充分的。

条件1：b是8的倍数，所以它表明b中至少有3个2，充分。

条件2：c是奇数，只有两个连续的偶数是8的倍数。若c是奇数，则c+1是偶数，c+2是奇数。因此，这个条件是不充分的。例如，如果c=5，则显然b不为8的倍数；如果c=7，则b为8的倍数。

综上，答案为A。

例题11

If n is a positive integer and r is the remainder when (n - 1)(n + 1) is divided by 24, what is the value of r?

(1) n is not divisible by 2.

(2) n is not divisible by 3.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目问的是，(n - 1)(n + 1)除以24的余数。

条件1：n不能被2整除。这表示，n是奇数，即，(n - 1)和(n + 1)是两个连续的偶数。这个条件只能证明(n - 1)(n + 1)是8的倍数，但无法证明其中是否含有3。

条件2：n不能被3整除。因为n-1，n，和n+1为三个连续自然数，所以如果n不能被3整除，那么n-1或n+1中的一个必然能被3整除。但从这个条件中无法知道(n - 1)(n + 1)是否是8的倍数。不充分。

条件1加条件2，显然地，此时n既是8的倍数，也是3的倍数。充分。

因数和质因数数量问题

算清楚一个合数拥有的因数和质因数个数本质上依然是“质因数分解”问题。

以150为例。150有多少个质因数和因数呢？

首先，我们需要对150做质因数分解：

150 = 2*3*5^2

150中含有的不同的质因数的数量是3个，即，2，3，和5。

在分解质因数后，每项幂指数+1再相乘，得到的乘积即为因数个数，也即是能整除150的整数个数。150的因数个数为：(1+1)(1+1)(2+1) = 12个。

这个方法的证明可以利用“排列组合”的思想。假设能整除150的数是一个容器：

对于2来说，这个容器里可以没有，也可以有，共两种可能。

对于3来说，这个容器里可以没有，也可以有，共两种可能。

对于5来说，这个容器里可以没有，也可以有1个，还可以有2个，共三种可能。

因此，150的因数个数为2*2*3=12

如果刚好都没有，则这个因数是1；如果刚好都有，则这个因数是150本身。这两个极值也均为150的因数，即，可以整除150。

例题12

How many factors does 735 have?

(A) 11

(B) 12

(D) 14

(E) 15

解：

分解735的质因数，则有：

735 = 3 x 5 x 7^2

735的因数个数为：(1+1)(1+1)(2+1) = 12个。答案为B。

例题13

If k is a positive integer, then 20k is divisible by how many different positive integers?

(1) k is prime.

(2) k = 7

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目问的是20k能被多少个整数整除，这个问题本质上就是因数个数问题。20k=2^2*5*k。我们要考虑k的质因数情况。

条件1说，k是质数。如果k是2，那么20k的因数个数为4*2=8个；如果k是5，则20k的因数个数为3*3=9个。因此，本条件不充分。

条件2说，k=7。显然地，如果给出k的具体数字，那么一定可以确定20k的质因数分解情况，进而确定因数个数，充分。

综上，答案为B。

例题14

If the prime numbers p and t are the only prime factors of the integer m, is m a multiple of p^2*t?

(1) m has more than 9 positive factors.

(2) m is a multiple of p^3.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目给出m有两个质因数，一个是p一个是t。问题问的是，m里是否能有两个p和一个t。其实我们只需要知道m中是否有两个p即可（t在题干中默认有一个）。

条件1：m有9个正因数。无论m有几个因数，它都可能是加在t而没有加在p上。因此，这个条件不充分。

条件2：m是p^3的倍数。显然，这个条件告诉我们m里至少有3个p，充分。

综上，答案为B。

最大公约数和最小公倍数

这两个概念本质上也是质因数分解问题。

最大公约数：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公共有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较少，乘较少的次数）。

最小公倍数：先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。

例如，求30和45的最大公约和最小公倍数：

先将30和45做质因数分解：

30=2*3*5

45=3*3*5 = 3^2 * 5

依照定义，则有：

30和45的最大公约数：3*5 = 15

30和45的最小公倍数：2*3*3*5 = 90

例题14

If x and y are positive integers, what is the value of x*y?

(1) The greatest common factor of x and y is 10.

(2) The least common multiple of x and y is 180.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

本题已知最大公约数和最小公倍数要求两个数的乘积，已知最大公约数就是两个数指数较小的公因子的乘积，最小公倍数就是公因子中指数较大的以及其他所有非公因子的乘积。

仅知道公倍数或公约数显然不充分，所以我们直接来看二者联合。

最大公约数是10，所以我们知道x和y仅有两个公因数，2和5

x和y的最小公倍数是180，因为180=2*2*3*3*5，所以结合最大公约数可知，

3并非公因子，也就是说，它仅出现在了x或y中某一个数字的因子中，且这个数的因子是3^2；5是公因子，在两个数字的因子中都只出现了1次；2由于在最小公倍数中出现了2次，但最大公约数中只有一次，所以2分别在x和y这两个数字的因子中出现了1次和2次；

综上，最终x*y=2*2*2*3*3*5*5。答案为C。

例题15

If n and t are positive integers, what is the greatest prime factor of the product n*t?

(1) The greatest common factor of n and t is 5.

(2) The least common multiple of n and t is 105.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

本题问的是n*t的最大质因数，也就是问n*t的质因数分解。

条件1说，n和t的最大公约数是5，从中我们无法知道n或者t是否有更大的质因数，不充分。

条件2说，n和t的最小公倍数是105。根据最小公倍数的定义，n和t存在的所有质因数都应该出现在两者的最小公倍数中，自然能从中得知n*t的最大质因子。充分。

综上，答案为B。

例题16

If x is a positive integer, what is the least common multiple of x, 6, and 9?

(1) The least common multiple of x and 6 is 30.

(2) The least common multiple of x and 9 is 45.

(A) Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(D) EACH statement ALONE is sufficient.

(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

解：

题目问的是三个数的最小公倍数。因此我们需要知道x的质因数分解模式。

条件1：x和6的最小公倍数是2*3*5。由此可知，x至少有一个5，至多则有一个2，一个3，和一个5。因此，无论x是至多还是至少或者是中间状态，我们都可以确定x，6，9的最小公倍数必然为2*3^2*5。充分。

条件2：x和9的最小公倍数是3^2*5。由此可知，x至少有一个5，至多有两个3和一个5。因此，无论x是至多还是至少或者是中间状态，x，6，9的最小公倍数都必然为2*3^2*5。充分。

综上，答案为D。

例题17

What is the greatest number of identical bouquets that can be made out of 21 white and 91 red tulips if no flowers are to be left out? (Two bouquets are identical whenever the number of red tulips in the two bouquets is equal and the number of white tulips in the two bouquets is equal.)

(A) 3

(B) 4

(D) 6

(E) 7

解：

这道题的主要难点在于理解它的实质上考的是最大公约数的问题。

问题的问的是，如果没有花剩下的话，那么最多能有多少束相同的花。因为相同的花的定义是，白色和白色数量相等，红色和红色数量相等。所以，我们直接求21和91的最大公约数。

21 = 3*7；91=7*13

两个数的最大公约数为7。

这个意思是，我们可以把白花分成7组，每组3朵；把红花也分为7组，每组13朵。由此可以构成7束，每束均有3朵白花和13朵红花构成。这7束完全相同。

综上，答案为E。