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题库 / Prep2007E1-DS-177
If x and y are positive integers, what is the value of xy ?
(1) The greatest common factor of x and y is 10.
(2) The least common multiple of x and y is 180.
Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
EACH statement ALONE is sufficient.
Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.
题目解析：这道题目已知最大公约数和最小公倍数要求两个数的乘积，已知最大公约数就是两个数指数较小的公因子的乘积，最小公倍数就是公因子中指数较大的以及其他所有非公因子的乘积。
仅知道公倍数和公约数明显无法得到充分结论，所以我们直接来看二者联合。
最大公约数是10，所以我们知道x和y仅有两个公因子，2和5
最小公倍数是180，180=2*2*3*3*5
所以我们得到结论，3*3是所有的非公因子，仅出现在了x或y某一个数字的因子中，5是公因子，在两个数字的因子中都只出现了1次，2由于在最小公倍数中出现了2次，但最大公约数中只有一次，所以2分别在x和y这两个数字的因子中出现了1次和2次；
集合上面的结论，最终xy=2*2*2*3*3*5**5
所以联合充分。
其实没那么复杂 最大公因数乘以最小公倍数就是两个数的乘积
(1)+(2) The most important property of LCM and GCF is: for any positive integers x and y, xy=GCF(x,y)∗LCM(x,y) , hence xy=GCF(x,y)∗LCM(x,y)=10∗180=1800 Sufficient.
180为x,y的公倍数，表示x,y去重后的最简质因数集合为(2,2,3,3,5), x,y的公因数为10，表示x,y最简质因数重叠的部分为2,5，
x*y=公倍数*剔除的重叠因数=180*10=1800
c为a，b的公倍数，则c的质因数包含a的质因数+b的质因数-二者重复的质因数，即a和b的质因数都在c的质因数里且c除了a，b的因数外，不包含其他质因数。
180的质因数为(2,2,3,3,5)，x,y的唯一的共同因数是10，则x,y都含有因数2,5,剩下的2,3,3则分别落在a和b，同时因为x,y没有其他相同的因数，所以2,3,3只能被分配成(2),(3,3)或(2,3,3)，x*y的值等于10*10*2*3*3=1800，唯一
如果没有条件(1),x,y的因数可以分别是(2,2),(2,2,3,3,5)或(2,3)(2,2,3,3,5)或(2,3,3),(2,2,5)等，导致x*y的值不唯一。
这题错了吧？条件二应该是1800？要不怎么做啊