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题库 / Prep2007E2-DS-162
If n is a positive integer and r is the remainder when n2 - 1 is divided by 8, what is the value of r ?
(1) n is odd.
(2) n is not divisible by 8.
Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
EACH statement ALONE is sufficient.
Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.
还没有题目讲解（毕出老师会陆续发布对官方考题的解读，请保持关注）。
条件一：n是奇数，设n=2a+1，则n^2-1=(n+1)（n-1）=2a（2a+2）=4a（a+1）；a和a+1是两个连续整数，一定有个因子2，因此4a（a+1）=8*？，充分；
条件二：n不能被8除，n里面不含有因子2和4，所以n^2也不能被8除，n^2-1不好判断，不充分；
偶数的平方能被4整除
(2k+1)²-1=4k²+4k=4k(k+1)
显然k与k+1一奇一偶，k*(k+1)是偶数
故n²-1能被8整除
n不被8整除时，n为任意不被8整除的数，且（nXn-1）/8的余数也是任意的，无法确定。
当n为奇数的时候：n^2-1= 2n(2n+2)=4n(n+1) n和n+1两个连续整数肯定有一个是偶数，则可以被8整除
n不能被8除的时候，则因素厘米不含有2和4的因子，因此n^2不能被8整除，那么n^2-1就不好判断了
连续三个整数的乘积是3的倍数 因为n不能被3整除，那么（n-1)(n+1)一定是3的倍数，
条件一：n是奇数，设n=2a+1，则n^2-1=(n+1)（n-1）=2a（2a+2）=4a（a+1）；a和a+1是两个连续整数，一定有个因子2，因此4a（a+1）=8*？，充分；
条件二：n不能被8除，n里面不含有因子2和4，所以n^2也不能被8除，n^2-1不好判断，不充分；
相邻两个自然数的乘积.必然是2的倍数
2.n不被8整除时，n为任意不被8整除的数，且（nXn-1）/8的余数也是任意的，无法确定。
故设n=2k-1
n^2-1=(2k-1)^2-1
=4k(k-1)
因为 k(k-1)是相邻两个自然数的乘积.必然是2的倍数.所以原式4k(k-1)必然是8的倍数，故由条件一可知r=0.
先去看这题我的note：https://bichu.com.cn/question/Prep2007E1-DS-159
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(2k+1)²-1=4k²+4k=4k(k+1)
显然k与k+1一奇一偶，k*(k+1)是偶数
故n²-1能被8整除
k=0的时候呢，也就是n=1呢，0除以8余数是多少
好问题，我也是纠结这个然后选了E
0也没问题啊，0/8=0,余数也是0，算整除；登录 或 注册 后可以参加讨论