转自Abbigail_law
If the prime numbers p and t are the only prime factors of integer m 
=> m=(p^a)(t^b) 且a>=1, b>=1
is m a multiple of p^2t?  => 即要求证a>=2
1) m has more than 9 positive factors  => (a+1)(b+1)>9 不能保证a>=2  比如a为1，b为4就不行
2) m is a multiple of p^3  ＝> 直接给出 a>=3
  任何一个自然数的因子个数 为质因数分解中 每个质因子的指数加1的乘积
i.e. 20=(2^2)(5^1) 所以20的因子个数为（2＋1）（1＋1）＝6个，分别是1，2，4，5，10，20

所以B.

multiple of tp
是否为tp的倍数

m=(p^a)(t^b) 求因数数量 => (a+1)(b+1)
任何一个自然数的因子个数 为质因数分解中 每个质因子的指数加1的乘积
i.e. 20=(2^2)(5^1) 所以20的因子个数为（2＋1）（1＋1）＝6个，分别是1，2，4，5，10，20

multiple of pt：pt的倍数。第一次看题目没有看明白。导致错误
A选项的情况，如果有9个因素，先假设一个P, 一个t， 剩余7可能都是合数，或者含有或全部都是P和t，如果都是合数或者t更多，那么不成立。
B选项，用以上相同思维，是成立的，

p^a*t^b=m, 如果m是p^2*t的倍数，则需a＞=2，b＞=1（已满足）

multiple of pt：pt的倍数

m is a multiple of pt
since m is also a multiple of p3, then m must be a multiple of p2. (e,g. p=2, m can be divided by 8, then m can also be divided by 4.)
so m is a multiple of p2t

p的1
次方和t的4次方也符合1

（1）有可能是含多个t, 却只含一个p

1) m has more than 9 positive factors
INSUFFICIENT: it doesnt tell exponent/powers of prime factors p & t. We dont know whether m is multiple of p^2.

2) m is a multiple of p3p3
SUFFICIENT: If m is a multiple of p3p3, then m must be multiple of p2p2. As 't' is also a prime factor of m, then m must be multiple of p2∗tp2∗t
e.g. say m=24, p=2, t=3. As 24 is multiple of p3=23=8p3=23=8, 24 must be multiple of p2=22=4p2=22=4, and therefore 24 is also multiple of p2∗t=22∗3=6

设M=APT,
(1) M有9个因子，不能判断M是否能被P^2T整除
(2) M=BP^3，由条件可知M=APT联立的P^2=AT/B为整数，两边同乘以T得到P^2T=AT/B，为整数，所以M可以被P^T整除，条件充分

（1）有可能是含多个t, 却只含一个p

就是问m的因子 里面有没有可能再多一个 质数 P。