条件二是原式可以变成12（z+1）=x，因为y=12z，z+1和z是互质的，所以 y和x的最大公约数可以确定为12.老师站在自己的角度想就跳过了很多说解的细节吧。gmatla讲真，挺烂的

(1) x = 12u, where u is an integer --> x=12ux=12u --> 12u=8y+1212u=8y+12 --> 3(u−1)=2y3(u−1)=2y --> the only thing we know from this is that 3 is a factor of y. Is it GCD of x and y? Not clear: if x=36x=36, then y=3y=3 and GCD(x,y)=3 GCD(x,y)=3
but if x=60x=60, then y=6y=6 and GCD(x,y)=6 --> two different answers. Not sufficient.

(2) y = 12z, where z is an integer --> y=12z --> x=8∗12z+12 --> x=12(8z+1).
So, we have y=12z and x=12(8z+1). Now, as z and 8z+1 do not share any common factor but 1 (8z and 8z+1 are consecutive integers and consecutive integers do not share any common factor 1. As 8z has all factors of z then z and 8z+1 also do not share any common factor but 1).
Thus, 12 must be GCD of x and y. Sufficient.

from gmatclub

（1）x=12u，y=3*（u-1）/2，因为y是正整数，u是整数，那么3（u-1）一定能被2整除，（u-1）是偶数且（u-1）不能=0，所以u一定是大于等于3的奇数。
当u=3时，XY最大公约数为3；u=5时最大公约数为2*3=6；u=9时最大公约数为2*2*3=12。无法确定是哪个
（2）y=12z，x=12（8z+1），因为Y是正整数，所以z≥1。当z=1时，12是最大公约数，z>1时，8z+1不是z的倍数，所以12依旧是最大公约数。

老师说错了吧，是最大公约数

求最大公约数
（1）x=12u，则x=12（2/3*y+1)所以y一定是3的倍数，但是不能确定x和y的最大公约数（只能确定有公约数3，但并不知道是否最大）
（2）y=12z，则x=12Z*8+12=（8Z+1）*12，y=z*12，所以x和y的最大公倍数是12

(1) y不一定是12的倍数，只需要是3的倍数

x=12u-->x含有两个因数(12,u)；y=12z-->y含有两个因数(12,z)，x,y的最大公因数取决于u和z之间有没有相同的因数-->求u和z的关系
将u和z代入x = 8y + 1-->u=8z+1，u/z=8余1，凡是相除余数为1的，两个数互质，所以u和z互质，(12,u)和(12,z)的最大公倍数是12.
证明“凡是相除余数为1的，两个数互质”：
设两个数A，B， 相除余数为1则A=kB+1。设两个数的公因数为m，A=am, B=bm, m,a,b都得是整数。代入A=kB+1得：am=k*bm+1,m=1/(a-kb), 因为m,a,b都是整数，所以m只能等于1，a-kb只能等于1，即A, B的公约数只能是1，两个数互质。

(1)x=12u-->x含有两个因数(12,u);把x=12u代入(1),得出12u=8y+12-->2y=3(u-1),说明因数组合(2,y)和(3,u-1)是对等的。因为2和3不是倍数关系，那么只能2和u-1，y和3是倍数关系，推出y是3的倍数。以上得出x,y 的因数分别为(12,u)&(3,n)。最大公倍数=所有质因数去重后的乘积，最大公因数=共有的质因数的乘积。u和n如果没有重复的质因数，则x ,y的最大公因数是3；如果u和n有重复的质因数，则最大公因数=3*重复的质因数，所以(1)不确定。
(2)y因数分解成(12,z), x=8*12z+12=12(8z+1),x因数分解成(12,8z+1).以上得出x,y 的因数分别为(12,z)&(12,8z+1), 因为8z+1和8z作为连续的整数是互质的，二者没有相同的最简质因数，z相比8z少了因数8，与8z+1也没有相同的最简质因素。所以x,y的最大公因数只能是12.
求最大公因数，最大公倍数的技巧在于把数字变成整数乘积表达式，以便进行因数分解。

将x，y都换算成u或z的表达式，来比较是否有相同的因数。

连续整数互质-->8z和8z+1互质；互质的意思是两个数没有相同的因数，8z与8z+1没有相同的因数，8z拿掉因数8以后，剩下的因数仍然与8z+1的因数不同，因此8Z+1和z之间只能是互质关系，

打错了kx+1肯定和x为互质关系（x不等于1）

aq+1肯定和aq是互质的关系

题目要求x和y的最大公约数。
条件一：x是12的倍数，所以y一定是3的倍数，但无法确定x和y的最大公约数（只能确定有公约数3，但并不知道是否最大）
条件二：y是12的倍数，原式就可以变化成x=(8z+1)12 ， y=12z 所以最大公约数是12，充分。——可用带入法，当z=1时，x=12*9，y=12*1，最大公约数是12；当z=2时，x=12*17，y=12*2，最大公约数还是12。

选择B

(2) y = 12z, where z is an integer --> y=12zy=12z --> x=8∗12z+12x=8∗12z+12 --> x=12(8z+1)x=12(8z+1). So, we have y=12zy=12z and x=12(8z+1)x=12(8z+1). Now, as zz and 8z+18z+1 do not share any common factor but 1 (8z and 8z+1 are consecutive integers and consecutive integers do not share any common factor 1. As 8z has all factors of z then z and 8z+1 also do not share any common factor but 1). Thus, 12 must be GCD of xx and yy. Sufficient.

x=12u=4(2y+3),=> Y=3/2(u-1),
X=12u,=> Y/X=u-1/8u,（你看u=3带入x,y.公约为3,=5,公约为6.）
x,y正整数
=>公约不定.
2）
同上理：Y/x=8Z+1/Z 无论z是几,公约都只是1