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题库 / Prep2007E2-DS-80
If x and y are positive integers such that x = 8y + 12, what is the greatest common divisor of x and y ?
(1) x = 12u, where u is an integer.
(2) y = 12z, where z is an integer.
Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
EACH statement ALONE is sufficient.
Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.
题目要求x和y的最大公约数。条件一：x是12的倍数，所以y一定是3的倍数，但无法确定x和y的最大公约数（只能确定有公约数3，但并不知道是否最大）条件二：y是12的倍数，原式就可以变化成x=(8z+1)12 y=12z 所以最大公倍数是12，充分。选择B
but if x=60x=60, then y=6y=6 and GCD(x,y)=6 --> two different answers. Not sufficient.
(2) y = 12z, where z is an integer --> y=12z --> x=8∗12z+12 --> x=12(8z+1).
So, we have y=12z and x=12(8z+1). Now, as z and 8z+1 do not share any common factor but 1 (8z and 8z+1 are consecutive integers and consecutive integers do not share any common factor 1. As 8z has all factors of z then z and 8z+1 also do not share any common factor but 1).
Thus, 12 must be GCD of x and y. Sufficient.
from gmatclub
当u=3时，XY最大公约数为3；u=5时最大公约数为2*3=6；u=9时最大公约数为2*2*3=12。无法确定是哪个
（2）y=12z，x=12（8z+1），因为Y是正整数，所以z≥1。当z=1时，12是最大公约数，z>1时，8z+1不是z的倍数，所以12依旧是最大公约数。
（1）x=12u，则x=12（2/3*y+1)所以y一定是3的倍数，但是不能确定x和y的最大公约数（只能确定有公约数3，但并不知道是否最大）
（2）y=12z，则x=12Z*8+12=（8Z+1）*12，y=z*12，所以x和y的最大公倍数是12
将u和z代入x = 8y + 1-->u=8z+1，u/z=8余1，凡是相除余数为1的，两个数互质，所以u和z互质，(12,u)和(12,z)的最大公倍数是12.
证明“凡是相除余数为1的，两个数互质”：
设两个数A，B， 相除余数为1则A=kB+1。设两个数的公因数为m，A=am, B=bm, m,a,b都得是整数。代入A=kB+1得：am=k*bm+1,m=1/(a-kb), 因为m,a,b都是整数，所以m只能等于1，a-kb只能等于1，即A, B的公约数只能是1，两个数互质。
(2)y因数分解成(12,z), x=8*12z+12=12(8z+1),x因数分解成(12,8z+1).以上得出x,y 的因数分别为(12,z)&(12,8z+1), 因为8z+1和8z作为连续的整数是互质的，二者没有相同的最简质因数，z相比8z少了因数8，与8z+1也没有相同的最简质因素。所以x,y的最大公因数只能是12.
求最大公因数，最大公倍数的技巧在于把数字变成整数乘积表达式，以便进行因数分解。
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条件一：x是12的倍数，所以y一定是3的倍数，但无法确定x和y的最大公约数（只能确定有公约数3，但并不知道是否最大）
条件二：y是12的倍数，原式就可以变化成x=(8z+1)12 ， y=12z 所以最大公约数是12，充分。——可用带入法，当z=1时，x=12*9，y=12*1，最大公约数是12；当z=2时，x=12*17，y=12*2，最大公约数还是12。
选择B
X=12u,=> Y/X=u-1/8u,（你看u=3带入x,y.公约为3,=5,公约为6.）
x,y正整数
=>公约不定.
2）
同上理：Y/x=8Z+1/Z 无论z是几,公约都只是1
这哥们笑死我了
我竟然把12约 约 约 掉了 ...
大家都错了登录 或 注册 后可以参加讨论