大数求余

7⁵⁴⁸除以10余几？

第一步：

先通过“试数”的方式，寻找7的多少次方除以10余1（原则上，可以通过费马定理求，但GMAT不会涉及很难的数字，直接试数反而更快）。

7¹除以10余7；7²除以10余9；7³除以10余3；7⁴除以10余1。

找到余1的情况，即，7的4次方。

第二步：

利用高斯同余乘法定理解题

既然7的4次方除以10余1，那么我们就可以表达为：

7⁴ ≡ 1 (mod 10)

这是因为，1除以10也余1，所以在同除以的10的情况下，7⁴和1同余。

然后根据高斯同余乘法定理，左边疯狂地乘以7⁴，右边疯狂地乘以1，两者依然同余。

7⁴ * 7⁴ ≡ 1 *1 (mod 10)

7⁴ * 7⁴* 7⁴ ≡ 1 *1*1  (mod 10)

7⁴ * 7⁴* 7⁴* 7⁴  ≡ 1 *1*1 *1 (mod 10)

。

。

。

如果在等式左边乘以137个7⁴，则左边可以变为7⁵⁴⁸；要想让左右依然想等，则右边需乘137个1，即：

7⁵⁴⁸ ≡ 1 (mod 10)

由此可知，7⁵⁴⁸除以10余1。