GMAT第一性原理之数学

前面我们已经将vebal部分的句子改错、批判性推理、阅读理解的第一性原理分别做了阐述，最后我们来讲讲数学：

所有的数学命题最终应归结为关于自然数的命题，这一点是现代数学的指导原则。

数学家克隆尼克（L.Kronecker）说过：“上帝创造了自然数，其余的是人的工作”。

我们需要把自然数及其两种基本运算—加法和乘法—当作已知概念（对，你没看错，不是四则运算，这是小学最大的误区之一），它们无法被证明，是数学的第一性原理。

基于加法和乘法这两个运算，我们可以向上推理出它们的逆运算—减法和除法。加法和乘法在自然数的体系中是永远有效的，即，无论取多少个自然数做加法或乘法，所得的结果必然依旧在自然数体系内。

但它们的逆运算，减法或除法，则没有这个必然性。例如：

9-3 = 6

6依然是自然数，但，3-9的运算结果明显不在自然数体系内。

基于此，我们人为规定了负数，即，当被减数小于减数时，减法运算的结果为负数。

又例如：

9/3 = 3

3依然是自然数，但9/4的结果就不在自然数体系内了，基于此规定了余数的概念；4/9显然也不在自然数体系内，基于此规定了分数的概念。

当然，从另一个角度，从自然数和乘法又可以向上推理出质数，因子等概念。

数字因运算的需要而被拓展为自然数，整数，负数，分数。这些数都是能通过常理逻辑想到的，所以它们叫“有理数”，常识上已经足以度量所有的长度了。

例如，我们规定“—”为单位长度（即为1）。任意一段线段，我们都可以用n个“—”来表示。如果待测线段的长度不是完整的单位，我们可以利用分数，把单位长度的线段进行无限细分，常理上，总是可以找到和待测线段匹配的长度。

但基于非常简单的证明，就可以得到一些“反常理”的数。例如，

1+1 = x^2

我们假设，x可以用分数进行度量，因此设它为p/q，同时假设此时p/q已无法再约分，即，最简分数。

(p/q)^2 = 2

p^2 = 2q^2

由于两个奇数相乘必定是奇数，所以此时p必为偶数（因为2q^2必然是偶数）。

我们可以把p表示为2r，代入，则有：

4r^2 = 2q^2

q^2 = 2r^2

同理，此时q也必为偶数。

还记得这个推理最开始的假设么？我们假设，p/q已无法再约分。但两个偶数必然是可以再约分的，和假设矛盾。

换句话说， x^2 = 2中的x是无法用最简分数表达的。用直尺和圆规，很容易在数轴上找到x的位置（半径为1，圆心在原点上画弧，弧和数轴的交点就是x的位置）。

这个在常识上十分容易找到且度量的点，是用单位长度和分数永远无法表达的。正是因为这种数是如此的不合常理，所以它们被称为：无理数。

由这些数对应的元素可以构成另一个基本概念—集合。如同数可以通过加法和乘法形成另外的数一样，一些集合通过某些运算可以形成另外的集合。这就是集合代数的由来。交集，并集，补集，容斥原理等这些概念就是结合了数字算法和常识后的产物。

当集合内的元素都是数字时，研究集合内的元素规律，可以得到“数列”的概念。等差，等比，递推，都是集合中数字元素的关系。

集合代数不仅能研究数字，还可以用于研究非数字概念。非数字概念中，最重要的莫过于“事件”了。如果把集合代数用于研究事件，则形成了另一门学科—概率论。

这也是为什么在计算独立事件的概率时，我们用的不是普通的加减法，而是集合论中的“容斥原理”（因为事件是以集合代数为根基向上推理得出，而非以自然数为根基）。

利用这些可度量（有理数）或不可度量（无理数）的数为单位，我们可以构造出在生活中常见的几何图形。例如，三角形，圆形，正方形，长方形，梯型，正方体，长方体，棱锥等等。

它们的边长和面积的关系，刚好和基本算法中的乘法相对应，所以面积公式就用乘法来定义了。

将基本几何图形放在坐标系中，形成了—解析几何。

解析几何需要做图描点工具，这个工具可以被定义为“函数”。

函数的一种特殊情况，即，因变量为常数时，就得到了方程的概念。

用方程来建模实际生活中的事件，就有了稀释问题，工程问题，和追击问题等等。

无论初等数学还是高等数学，均可以由自然数，加法，和乘法这三个简单到极致的概念推理得出。自然数，加法，和乘法即为数学的第一性原理。